「你們好！我很高興能來到這裏為大家進行匯報。」
首次在復旦大學作演講的數學家、菲爾茨獎得主安德烈·奧昆科夫（Andrei Okounkov），以中文作為開場白親切問候，激起現場聽眾的熱烈掌聲。
「中文是一門很復雜的語言，對我而言充滿挑戰，就像數學對很多人而言充滿挑戰一樣。」 明天將迎來55歲生日的奧昆科夫正在努力學習中文，他希望告訴大家，數學的美麗無與倫比，即使這份美麗有時沒那麽容易理解。
今天（7月25日）上午，第七期「浦江科學大師講壇」在復旦大學相輝堂舉行，奧昆科夫教授以「表示論的源頭與碩果」為題分享了他在數學領域的獨到見解。
作為當代最傑出的數學家之一，奧昆科夫解決了多個重要猜想和重大問題，在表示論、代數幾何、動力系統、組合學、機率論、弦理論、統計力學等多個領域做出了奠基性的工作成果，並以將機率論、表示論和代數幾何相互聯系的工作榮獲2006年菲爾茨獎。
上海市政協副主席吳信寶出席講壇並為安德烈·奧昆科夫教授頒發「主講科學家」紀念證書，復旦大學校長、中國科學院院士金力主持講壇並致辭。上海市政協、上海市政協科教委、市科技黨委、市科委、市教委、市科協等單位負責人，上海市各高校、中學師生及科研人員代表出席活動。
從對稱性出發
追溯表示論源流
表示論的源頭是什麽？不妨先看看這些充滿對稱的圖形：正多面體、晶體結構，還有各種美麗繁復的飾品花紋。
「人類喜歡對稱，正是對稱思維激發了表示論的誕生。」 奧昆科夫將時間軸拉回古希臘時代。當時的人們並不理解對稱背後的數學含義，只是樸素地將其和「火」、「氣」、「水」、「土」和「以太」等神秘的「基本元素」聯系起來。
數學中的對稱性有兩大分類—— 離散對稱性和連續對稱性，其本質區別在於是否可以存在微小的擾動 。比如奧昆科夫展示的畢加索畫作【舞會上的雜技演員】中，雜技演員腳下的球體經過微小的擾動就可以到達新的平衡位置，而觀眾身下的立方體僅有6個平衡位置。
「當我們看到一個現象，不應僅僅思考這個現象，而應思考其背後的一般規律。這需要一種正確的、系統性的闡述方式。」 奧昆科夫說，數學家們就是用抽象符號給出了對以上現象的闡述方式——抽象代數中「群」的概念。
群是數學研究的基本物件之一，簡單來說，它是一個帶有「乘法」作用的集合，這樣一個抽象概念可以很好地描述「對稱」這一現象。「我們可以用對稱變換的全體——對稱變換群來描述研究物件的對稱性。」
奧昆科夫用SO(3)（即三維空間的旋轉變換群）為例，形象解釋了這樣一個抽象的群如何具體和一個半徑為π的實心球體中的點對應起來，並透過將球殼的對徑點粘合，將SO(3)和三維射影空間等同起來。
他認為，不同的物件可能擁有相同的對稱群，比如正十二面體和正二十面體，因此我們應該研究群在具體物件上的「表現形式」，表示論就是研究這種「表現形式」的數學。表示論的核心是，不僅考慮我們研究的物件，還應該進一步考慮該物件所在的歐式空間，如正多面體所在的三維空間和正多邊形所在的二維平面，將研究物件上的變換延伸到整個空間上，這一般也被稱為群作用在整個空間上。
奧昆科夫進一步解釋，線性作用在所有的作用中扮演著特殊角色，這種將代數結構中的元素表示為歐式空間上的線性變換的方式，就叫做表示論。
「群只是一種內在結構，表示才是真正起作用的地方，而線性表示的特殊之處在於，它可以被分解成一些基本結構——不可約表示。」在他看來， 透過研究不可約表示，群的代數結構與其在現實世界的作用之間搭起了一座溝通的橋梁。
搭建抽象理論
與現實世界間的橋梁
與數學界許多更為古老的領域相比，20世紀後半葉興起的表示論稱得上一個相對年輕的方向，當下更是以日新月異的速度發展，並與其他學科呈現交叉融合趨勢。
作為表示論領域的領軍人物，奧昆科夫認為表示論目前在理論物理、計數幾何等研究領域展現出了相當重要的價值， 這一抽象的數學理論在現實世界的研究中也發揮著越來越重要的作用 。
奧昆科夫介紹了一類重要的群——Weyl群，這也是表示論與物理學融合的重要案例。相比一般包含對稱、旋轉、反射和滑反射等變換的對成群，Weyl群是僅由反射組成的有限群。
透過展示17張貓咪圖案桌布，奧昆科夫解釋了Wyel群的罕見性：「這是將貓咪圖案透過對稱變換得到的非常漂亮的17張照片，但是其中只有4張照片，它的對稱群僅由反射組成。」
而透過六邊形結構雪花的例子，他解釋了Weyl群在表示晶體群結構及量子色動力學等領域的重要作用。在此基礎上，他進一步介紹了仿射Kac‐Moody群——由反射生成的無限晶體群，可以用來描述物理上有無限維自由度的量子系統，這一重要特性讓其在量子場論等物理研究領域有著重要套用。
在表示論如何對應現實世界的問題上，奧昆科夫使用SO(3)的表示刻畫氫原子結構這一案例為聽眾解釋表示論搭建由抽象世界到現實世界橋梁的過程。
數學家們發現，SO(3)的不可約表示可以和物理上電子軌域對應起來。透過把研究物件分解成不可約表示，表示論在量子力學、偏微分方程式、數論等多個重要領域發揮了重要的作用。
「表示論與其他學科的結合是一個重要研究方向。 把這些數學理論套用到具體問題的解決中是很有意義的，這也意味著我們對相關理論的理解達到了新的高度。 」奧昆科夫相信，表示論對物理和化學等學科的作用仍有許多尚待挖掘。
關註AI同時
不能忘記經典理論
近年來，奧托科夫與中國數學界有著頻繁交流與合作，2023年11月他當選為中國科學院外籍院士。奧托科夫曾多次造訪中國高校，與國內優秀年輕學者面對面交談。今年，他成為上海數學與交叉學科研究院（SIMIS）存取學者。
與許多數學研究者的成長經歷不同，奧昆科夫年輕時 最初涉足的是經濟學領域，而後才轉向了數學理論研究 。
面對聽眾提問，他回顧了當年的心路歷程：「很多研究者都會對自己所屬的學科有一種朋友般的親近感。我當時也非常喜歡經濟學，經濟學本身就是充滿數學工具的學科，但我最終發現自己最喜愛的還是數學理論研究，事實也證明這是最適合我的專業方向。」
「作為研究人員，你可以適當挑戰自己，但歸根結底你還是要找到你適合的研究領域，而不是強迫自己學習不喜歡的東西。」他強調。
奧昆科夫被認為一個涉獵廣泛的數學家。他的工作很難歸類，因為他涉及到如此多的領域， 但有兩個明顯的主題，就是使用隨機性的概念和表示論中的經典思想 。
「從個人職業生涯來說，我可能在解決某一個問題的時候會聯動很多其他學科，而我們會發現，最終解決這些問題的歸因都來自最初的那幾個問題。」他坦言。
因此，給予年輕學子建議時，奧昆科夫總是反復提及「打好基礎」。他認為，資訊爆炸的時代，許多年輕人在學習前沿知識方面展現出超凡熱情，這一點值得肯定。 但他希望大家在學習新興成果時，也不要忘記那些優秀的學術經典和傳統，不要忘記從數學學科悠久的歷史長河中汲取力量。
正如當下，人工智慧發展如火如荼，奧昆科夫認為，人工智慧是數學研究的有力工具，可以在人工智慧建模、大樣本量計算等方面大大降低數學家的工作負擔，但從另一個角度而言，人工智慧並不能完全取代數學研究者本人的工作，尤其是在精確性等指標上，其表現仍有不足。
「我們既不能固守傳統，也不能一味追求AI的發展。」 在奧昆科夫看來，傳統計算方法與最新的人工智慧研究方法可以在數學理論研究中和諧共存，這需要我們用好數學傳統的同時，及時吸納人工智慧最新套用。
組 稿
校融媒體中心
文 字
殷夢昊 張國蘊 葛近文
圖 源
浦江科學大師講壇
責 編
殷夢昊
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