近世代數有一個研究較多的數學物件：環。環比群更復雜，但沒有域那麽復雜。因此，盡管它的適用範圍不如群那麽廣泛，但是它在普通數之外的套用比域更廣。與群類似，環可以擁有有趣的內部結構。
事實上，同一些中間概念的情況類似，環的概念同時給數學家們提供了兩個世界上最好的東西。例如，它處於現代代數幾何的中心，是近世代數中最深刻、最具挑戰性的思想的源頭。然而，經過了相當漫長的一段時間之後，人們才開始認識到環的全部威力。
有一類環叫作拉斯克環，還有一個重要定理叫作拉斯克–諾特定理，這是一個與諾特環的結構有關的定理。這也是一個關於偉大的女性數學家的故事。
【代數的歷史：人類對未知量的不舍追蹤（修訂版）】
作者 | [美] 約翰·德貝希爾（John Derbyshire）
譯者 | 張浩
諾特環和拉斯克–諾特定理表明，這個故事中顯然有一個名叫諾特的人。這裏實際上有兩個名叫諾特的人，一個名氣小些，一個名氣大些。名氣較小的是父親馬克斯·諾特（1844—1921），名氣較大的是他的女兒埃米·諾特。埃米·諾特把自戴德金的開創性工作之後 40 年的成果整合到一起，轉化為現代環論。
馬克斯·諾特是德國南部城市埃爾朗根（在紐倫堡北邊）的一名數學教授。1882 年埃米在那裏出生。我們必須把她的職業生涯放在她成長的德意誌帝國的大環境中來看，當時是俾斯麥（1871 年至 1890 年的德國宰相兼外交大臣）和威廉二世（1888 年至 1918 年在位的德國皇帝）的德意誌帝國。
即使按 19 世紀末的標準來衡量，在威廉二世統治下的德國，女性受到嚴重歧視。我想，即使是那些不會說德語的人也可以從德語口號「Kinder、Küche、Kirche」（子女、廚房、教堂）中大概推測出女人在德國社會中的地位。據說，這句話被用來贊許威廉二世的皇後奧古斯塔·維多利亞的態度，不過她口中說的應該是皇帝、子女、廚房和教堂。
因此，當埃米·諾特在 18 歲左右決定將純數學研究作為她的事業時，她決定邁過一座險峻的大山。她的父親是一名數學家，還是一所著名大學的教授，盡管她擁有這樣的優勢，情況仍然如此。1900 年，當諾特做出這個決定時，女性只能作為旁聽生參加大學課程，而且還必須得到授課教授的允許。在 1900 年到 1902 年，埃米·諾特在埃爾朗根大學旁聽了數學課，接著在 1903 年到 1904 年在哥廷根大學旁聽。
到了 1907 年，德國開展了一些適度的改革，諾特獲得了埃爾朗根大學授予的博士學位，這是德國的大學授予女性的第二個數學博士學位。這個博士學位本可以讓她獲得在大學任教的資格，然而，「特許任教資格」還沒有向女性開放。她在埃爾朗根大學工作了八年，一直是博士研究生的無薪導師和臨時講師。但沒有什麽事能夠阻止她發表文章，她很快就因為在數學方面的傑出工作而聞名。
這些事發生在愛因史坦 1905 年發表他的狹義相對論之後的幾年裏。當時，愛因史坦正全身心投入在他的廣義相對論研究中，其目標是把重力納入他的理論中。然而，他還有一些困難需要克服。1915 年 6 月到 7 月，愛因史坦在哥廷根大學的一些講座中介紹了他的廣義相對論和一些沒有解決的問題。愛因史坦在談到這件事時說：「讓我感到高興的是，我成功地說服了希爾伯特和克雷因。」
這的確值得高興。盡管當時的希爾伯特和克雷因已經過了職業巔峰期（當時希爾伯特 53 歲，克雷因 66 歲），但他們依然是數學巨人，而 36 歲的愛因史坦還只不過是青年才俊。當然，在愛因史坦在 1915 年來做演講之前，希爾伯特和克雷因就很有興致地關註了他的思想的發展。現在他們「相信」了愛因史坦（可能是相信愛因史坦的思路是正確的），把註意力放在廣義相對論的突出問題上。他們知道埃米·諾特在相關領域所做的一些工作，因此邀請她到哥廷根來。〔那些與特定變換中的不變量有關的領域，我將在下面闡述其想法。相對論中的關鍵變換就是勞侖茲變換，它告訴我們從一個參考系轉換到另一個參考系時，座標（即三個空間座標和一個時間座標）是如何變化的。這個變換之下的不變量是「原時」，至少在微積分所需的無窮小層次上是這樣的。〕
諾特如期到達了哥廷根。在幾個月的時間裏，她寫出了一篇精彩的論文，解決了廣義相對論中一個棘手的問題，並給出了一個至今仍讓物理學家珍視的定理。愛因史坦也贊揚了這篇論文。埃米·諾特出名了。
至此，人們已經承認埃米·諾特是一流的數學家，但是她的職業困擾依然沒有結束。第一次世界大戰開始的第二年，埃米·諾特的弟弟弗裏茨（也是一名數學家）到軍隊服役。盡管按照威廉時代的大學的標準，哥廷根大學雖然是自由的，但是哥廷根大學仍不願讓女性擔任教職。戴維·希爾伯特是一個思想開明的人，他只憑真才實學來評判數學家，他勇敢地為諾特爭取教職，但是沒有成功。
雙方的一些爭論已經成為數學家中的傳說。校方說：「當我們的戰士返回大學，發現他們將在一個女人手下學習時，他們會怎麽想？」希爾伯特說：「我不明白為什麽候選人的性別是反對她成為無薪講師（即講師的薪水由學生支付）的理由。畢竟我們是一所大學，而不是澡堂。」
希爾伯特幫諾特解決問題的方法很獨特：他以自己的名義開設了課程，然後讓諾特去授課。
在第一次世界大戰戰敗後，德國的社會全面自由化，女性終於有可能獲得任教資格，從而得到一份大學教職，盡管只是一名依靠學生支付講課費的無薪講師。1919 年，諾特正式拿到了特許任教資格。1922 年，她在哥廷根大學得到了帶薪職位，但不是終身教職，而且微薄的薪水很快就不足以應付通貨膨脹。
在戰後最初的幾年裏，諾特整理了所有關於環的研究成果，把它們轉化成一個清晰連貫的抽象理論。她於 1921 年發表的論文【環中的理想論】（「Idealtheorie in Ringbereichen」）（當時還沒有這些術語）被認為是近世代數史上的裏程碑，它不僅給出了交換環的內部結構的關鍵結果，而且提供了一種很快被其他代數學家采用的研究方法，即「近世代數」的嚴格公理化方法。
範德瓦爾登說：「在哥廷根，對我來說最重要的事是我認識了埃米·諾特，她完全重造了代數，比以往任何研究都更一般化……」
到了 20 世紀 30 年代初，埃米·諾特已經成為哥廷根大學的一群充滿活力的研究人員中的中心人物。雖然她的職位仍舊很低，薪水微薄，沒有終身職位，但是她作為數學家的能力是毋庸置疑的。然而，諾特完全不符合那個時代和那個地方流行的女性氣質標準，不過，公平地說，她的同事也不符合那些標準。她的身材較壯，相貌平平，戴著一副厚厚的眼鏡，聲音低沈而刺耳。她穿著不合身的衣服，把頭發剪成短發。人們普遍認為她的講課風格令人費解。盡管她的同事們都是男性，但他們對她還是充滿敬畏和愛戴之心。那時，威廉二世的德國剛剛過去十幾年，人們有自己獨特的表達情感的方式，也許這些方式在今天不會被接受。
因此，所有這些輕蔑的打趣在當時並不是惡意的，這已經成為數學傳說的一部份。最著名的是她的同事艾德蒙·蘭道的回答。在蘭道被問道他是否認為諾特是一位偉大的女數學家時，他回答道：「埃米肯定是一位偉大的數學家，但要說她是一位女性，我不敢保證。」諾伯特·維納（1894—1964）對她的描述更大度一些：「她是一個精力充沛、近視眼的洗衣女工，很多學生簇擁在她的周圍，就像一群小鴨子圍著一只仁慈的母雞。」赫爾曼·外爾最為溫和地表達了人們的共識：「美惠三女神沒有光顧她的搖籃。」外爾還試圖解釋對她的稱呼「Der 諾特」（在德語中，定冠詞「der」修飾陽性名詞）：「如果我們在哥廷根……稱她是‘Der 諾特’，那一定是表示我們由衷地承認她是一名強大且富有創造力的思想者，她似乎已經突破了性別的界限……她是一名偉大的數學家，最偉大的數學家。」
在哥廷根大學，諾特薪水微薄，而且沒有終身職位，在 1933 年春納粹上台時，她丟掉了這份工作。她曾經因為是女性而被禁止在大學任教，而此時則是因為她的猶太人身份而更被禁止教書。她的非猶太同事和舊同事（以希爾伯特為首）多次為她請願，但一點兒用也沒有。
在納粹統治期間，猶太知識分子和反納粹知識分子一般有兩種逃脫方式：去蘇聯，或者去美國。埃米的弟弟弗裏茨選擇了前者，在西伯利亞的一所研究院找到了一份工作。埃米則走上了另一條路，在賓夕法尼亞州的布林莫爾學院獲得一個職位。她的英語還可以，而且她只有 51 歲，這所學院非常高興能獲得這樣一位數學天才。很可惜，僅僅兩年後，埃米·諾特就因子宮腫瘤切除手術引起的栓塞而去世。艾伯特·愛因史坦為【紐約時報】撰寫了她的訃告，其中一段如下：
在代數領域……那些最有天賦的數學家已經研究了幾個世紀的一個領域，她發現了非常重要的方法……幸運的是，有一小部份人在他們的生命中早早就認識到，人類最美妙、最令人滿意的經歷並非來自外部，而是與個人情感、思想和行動的發展密切相關。真正的藝術家、研究者和思想家一直都是這樣的人。然而，這些人的生活默默無聞，但是他們努力的成果卻是一代人給他們的後輩創造的最有價值的貢獻。
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作者：[美] 約翰·德貝希爾
譯者：張浩
轉載自：圖靈新知
