最古老的數學問題現在進展到哪一步了？
一個新的證明讓一個幾十年前的結論煥發新的生機，這個結論就是：所有的整數都能用分數之和來表示。
數論學家一直致力於尋找隱藏的結構。當他們遇到一個不可避免的數碼模式時，他們會對其進行測試，他們努力地——雖然經常失敗——去探索在何種情況下一個給定的模式不會出現。
牛津大學的杜文·布魯姆（Thomas Bloom）最新的一項研究回答了一個可以追溯到古埃及的問題，彰顯了上述這種數碼模式的生命力。
達特茅斯學院的卡爾·波梅蘭斯說：「這可能是數學上最古老的問題。」
這個問題涉及分子是1 的分數，例如1/2,1/7,1/122.這些「單位分數」對於古埃及人來說非常重要，這是因為他們的數碼系統中只包含這一類分數。他們只能把復雜分數表示成單位分數的和，例如3/4=1/2+1/4.
20世紀70年代，人們對這種加和的研究興趣迎來了一個高潮。當時，保羅·厄爾多斯（Paul Erdős）和朗奴·格雷厄姆（Ronald Graham）提出了這樣一個問題：設計一個不包含倒數相加和為1的子集的整數集有多難？例如，集合{2,3,6,9,13}就不滿足條件，因為它包含子集{2,3,6}，這三個數的倒數相加和為1：1/2+1/3+1/6=1.
更確切地說，厄爾多斯和格雷厄姆猜想，對整數集進行的任何足夠大的正比例采樣，都必須包含一個倒數相加為1的子集。如果初始集合滿足對足夠多的整數進行抽樣的簡單條件（這個條件也被稱為「正密度」），那麽即使這個集合裏的數碼故意選得很難找到這樣一個子集，這個倒數之和為1的子集也一定會存在。
蒙特利爾大學的安德魯·格蘭維爾（Andrew Granville）說：「我只是覺得這是一個不可能的問題，任何正常人都不可能做到。我看不出來有什麽明顯的工具可以解決這個問題。」
布魯姆（Bloom）對厄爾多斯和格雷厄姆問題的關註源於一次課後作業：去年九月，他被要求向牛津大學的一個讀書小組匯報一篇20年前的論文。
那篇論文的作者是一位名叫厄尼·克魯特(Ernie Croot)的數學家，他解決了被稱為著色版的厄爾多斯-格雷厄姆問題。在著色版問題中，整數被隨機分到不同顏色的桶中：一些放在藍色的桶中，一些放在紅色的桶中，以此類推。厄爾多斯和格雷厄姆預測，無論使用多少種不同顏色的桶對這些數碼進行分類，至少有一個桶中的數碼集包含一個倒數相加之和為1的子集。
克魯特從調和分析（一個跟微積分關系密切的數學分支）中引入了一個新的強有力的方法來證實厄爾多斯-格雷厄姆猜想。他的論文發表在該領域的頂級期刊【數學年鑒】上。
佐治亞大學的喬吉斯·佩泰利迪斯（Giorgis Petridis）說：「克魯特的論點讀起來令人愉悅，這不僅需要創造力、天賦，還需要很強的技術能力。」
然而，盡管克魯特的論文令人印象深刻，它卻無法回答密度版的厄爾多斯-格雷厄姆猜想。因為克魯特利用了著色水桶分類帶來的便利性，而在實際數論中是沒有這一簡化條件的。
古代數學：可以追溯到公元前1650年的萊茵德草紙，展示了古埃及人是如何用單位分數之和來表示有理數的。
當把數碼分到不同桶裏的時候，克魯特想要回避有很大質因數的合數。那些數的倒數加起來往往得到分母很大的分數，而不是簡化為一些可以相加為1的簡單的分數。因此克魯特證明了如果一個集合包含足夠多小質因數構成的數時，它就一定會包含一個倒數相加和為1的子集。
克魯特證明了至少有一個桶總是滿足這一特性，這足以證明著色版本的結果。但是更一般的情況下，數學家不能只是簡單地選擇用水桶來說明問題。他們可能需要在一個不包含小質因數的桶中尋找一個解，在這種情況下，克魯特的辦法就不奏效了。
「這是我無法回避的問題。」克魯特說道。但是二十年之後，當布魯姆準備向他的讀書小組分享克魯特的論文時，他意識到他可以從克魯特介紹的方法中得到更多的東西。
布魯姆說：「我想，克魯特的方法實際上比它乍看起來強大得多，因此我想了幾周，終於發現了它的強大之處。」
克魯特的證明依賴於一種稱為指數求和的積分方法，它是一個能夠檢測一個問題中有多少整數解的運算式。在我們討論的這個問題中，它能夠指出有多少子集包含單位分數加和等於1的情況。但是有一個問題：要精確求解這些指數和幾乎是不可能的，即使是估算也會非常困難。
克魯特的估算證明了他所處理的積分是正的，這一特性意味著在他處理的初始集合中至少存在一個解。
奧地利格拉茨理工大學的基斯頓·埃爾肖爾茨（Christian Elsholtz）說：「他用近似的方法解決了這個問題，這已經足夠了。」
布魯姆對克魯特的策略進行了調整，使其適用於質因數較大的數。但是這樣做需要克服一系列的問題，這些問題使得證明指數和大於零（從而證明厄爾多斯-格雷厄姆猜想）變得更加困難。
克魯特和布魯姆的方法其實都將積分分解成若幹部份，並證明其中的主要項是正的並且足夠大，其它項（一些可能是負的）太小可以忽略不計。
數學天才：牛津大學的杜文·布魯姆（Thomas Bloom），研究算術組合問題
但是克魯特忽略了那些質因數非常大的項，布魯姆的方法則對這些項進行了很好地調控。因此，在處理那些可能會帶來麻煩的數碼時，有了更多回旋的余地。盡管這樣，在證明一個給定項很小的時候，仍然可能遇到麻煩的數碼，不過布魯姆證明了這種情況是很少出現的。
卑詩大學的格雷格·馬丁（Greg Martin）說：「我們總是在估算指數和，但是當指數本身包含很多項的時候，就需要很樂觀地去相信我們總能找到一種估算方式證明它是大的正項。」
布魯姆沒有用這個方法去尋找倒數和為1的數集，而是用它去尋找倒數相加得到更小分母的分數的數集，然後再用這些數得到想要的結果。
布魯姆說：「老實說，你找不到1，你找到的可能是1/3，但是如果你用三種不同的方法找到三個1/3，把它們加起來就得到了1.」
這讓他對這種數碼模式的穩定性有了更深刻的認識：只要一個集合包含數軸（整數部份）上某些微小但足夠大的片段——不管這些片段看起來如何——都不可避免地找到這些簡潔的單位分數之和。
卑詩大學的伊莎貝拉（Izabella Łaba）說：「這是一項傑出的成果，組合數論和解析數論在過去的20年裏有了長足的發展，這使得我們有可能以全新的視角和更有效的方法來解決一個老問題。」
同時，這也給數學家們留下了一個新問題，是關於不存在單位分數之和等於1的子集的集合。質數集就是一個例子——沒有倒數之和等於1的質數子集——這一特性也適用於其它「更大」的無限集，因為它們的倒數之和比質數的倒數之和更快地接近無窮大。在隱藏結構重新出現和倒數之和不可避免地成為1之前，這些倒數之和的增長速度到底有多快呢？
「厄爾多斯·格雷厄姆猜想是一個非常自然的問題，但這並不是它的全部答案。」——佩泰利迪斯（Petridis）
轉載自：中科院物理所
