聽到「公式」這個詞，大家會想到什麽？
是學生時代煩人的試題，還是一串不明所以的字元？
公式到底厲害在哪裏？
它們的精妙之處，在於簡潔的外觀和深奧的內涵。愛因史坦方程式就是一個典型的例子，這個公式主導著宇宙萬物，短短一行字元就囊括了黑洞、重力波乃至整個宇宙中的各種現象。公式就像一個負責講述古老傳說的氏族，向我們傳述無數豐富的資訊。
假設某天晚上你坐在一家咖啡店裏，身邊有個人試圖向你搭訕。你本以為他只會扯幾句無聊的閑話，沒想到他卻在餐巾上唰唰唰地寫了幾行公式，寫完後對你說：
「現在，你知道宇宙的樣子了吧？」
這句出人意料的話，會不會引起你的好奇心呢？雖然不知道這種搭訕技巧是否實用，但在我個人看來，能唰唰唰地寫出公式並就其侃侃而談，就已經很帥氣了。
有時，公式所講述的真相甚至會超出提出者的設想，成為真正的預言。舉例來說，愛因史坦提出的公式裏就有一個當時還寓意不明的宇宙學常數。而現在我們知道，這個常數代表著占據宇宙能量密度約68%的暗能量。
本文選自【統治宇宙的24個公式】，較原文有刪節修改。已獲得出版社授權刊發。
【統治宇宙的24個公式】，［日］高水裕一 著，青年天文教師連線 田田 吳斌 譯，江蘇鳳凰科學技術出版社2024年5月版。
整個宇宙在遙遠的未來會達到的最終狀態
熵增原理dS≥0是物理學中能表示「時間單向流動」的公式。
如果用一個詞來概括，這個公式可以被簡稱為熵增原理。S表示的是熵，而至於熵到底是什麽，恐怕我需要用一整本書來進行說明，因此在這裏我就不過多介紹了。
這個公式屬於物理學中的熱力學領域，而該領域主要研究與熱相關的現象。比如球體在捲動時，嚴格來講會與地面發生摩擦，因而一定的能量會以熱的形式釋放出來。同樣，彈簧在彈動時也會伴隨著少量的放熱。
換言之，目前為止力學裏涉及的所有現象，在現實生活中其實都伴隨著熱現象的發生，而力學研究的只不過是理想狀態下的情況。所以說，熱力學幾乎與我們身邊所有的現象都有關聯，是一個範圍極廣的領域。
18世紀時，蒸汽火車和蒸汽船等工業套用讓熱力學研究有了用武之地，而這門學科也隨著工業革命的進行逐漸發展起來。
接下來我來簡單介紹一下熱力學領域的重要定律。熱力學第一定律與能量守恒有關，熱力學第二定律就是熵增原理，而熱力學第三定律則與絕對零度有關。雖然這些定律乍看之下都非常簡單，但是當我們深挖其背後的含義時，就會發現它們其實比其他領域的定律都要深奧——這也正是熱力學這個領域的特征。
【信條】（2020）劇照。
在大學裏初次接觸熱力學知識的時候，很多學生都會感到無聊，因為這個領域裏的每一條結論都像是在對理所當然的事實進行瑣碎冗長的說明。我也是在做了教師以後，為給學生講課重溫熱力學的知識，才終於體會到其深邃的真諦。所謂學習，大概就是需要像多次閱讀一部小說那樣，反復地咀嚼知識吧。
熱力學的主要目標之一，就是要弄清楚什麽是「熱」。雖說直接給出答案會讓我有種負罪感，但這裏我還是要告訴大家，熱的本質就是原子和分子等微觀粒子的運動，而這種運動叫作熱運動。
隨著熱力學的發展，人們的關註點逐漸由宏觀物體轉向了微觀粒子的運動。在研究微觀粒子的運動時，我們需要用到統計力學的知識。不過這門學科似乎不太受學生們喜愛，我常在課上聽學生抱怨說「完全搞不懂在算什麽」。其實，統計力學就像一座橋梁，連線著我們的日常生活和基本粒子的微觀世界。統計力學和我接下來要提到的高斯分布也有著密切聯系。
讓我們說回熱力學第二定律，它描述的是熵這個量會隨著時間的流逝逐漸增加。這條定律極其重要，甚至可以說是自然界的一條基本原理。熱咖啡會變涼、牛奶倒入咖啡後會擴散、灑到地上的咖啡不會回到杯子裏……這些現象的共通之處就在於不可逆性。
這個公式描述的事實已經遠遠超出了熱力學範圍——它是一個可以回答「時間為什麽不可逆」這個問題的公式。「時間一定會向著未來前進，而不會回到過去」這句話雖然聽起來理所應當，但能解釋其背後原因的公式卻不多。無論是我們的日常生活，還是整個宇宙，時間都是一種不可逆的存在。因此可以說，這個簡單的公式包含了宇宙的真諦。
所謂的「馬克士威妖」就是假想中一只能讓時間倒流的妖精。關於它的故事我在後面還會提到，現在先暫且放一放。總之，所有的現象都會遵循熵增原理一直發展下去，最終達到dS=0，也就是熵值最大的狀態。換句話說，這就是整個宇宙在遙遠的未來會達到的最終狀態。然而這到底是一種什麽樣的狀態，我們目前還並不知曉。
「覆水能收」嗎？發現「倒流的時間」
一個孤立系統中的熵越來越少，就意味著這個孤立系統裏的時間在逆向流動。電影【信條】就十分直觀地展現了一個時間倒流的世界，我覺得很有意思，大家有機會一定要去看一看。
當然，也有一些不那麽科幻的事情。在量子力學的世界裏，時不時地會出現一些運動軌跡反常的基本粒子。雖然目前我們對這些現象的研究還不太成熟，但實作時間旅行的方法很可能就在量子力學裏。能帶給我們一個不可思議的夢，這大概就是這個公式最大的魅力吧！
【信條】（2020）劇照。
現在，讓我們來聊聊熵的發展史。
首先，在有關熱機的研究中，一個名叫卡農的法國物理學家提出了一個重要概念——卡農迴圈。即便是今天，我在課上講解熵的概念時，依然會提到卡農迴圈。因為這個過程能讓我們推匯出一個不斷積累的物理量，也就是所謂的熵。在對卡農迴圈進行分析以後，我們會發現永動機是不存在的，而這就是熵增原理的原型。令人惋惜的是，卡農在36歲時就因為霍亂與世長辭了。
卡農去世以後，一個名叫克勞修斯的德國學者決定繼續對卡農迴圈進行研究。在1865年的一篇論文中，他首次使用字母S表示熵並將其量化。
熵（entropy）這個說法來源於希臘語中的「轉化」（τροπή）一詞。在熱力學研究中，由於功和熱之間的轉化是不完全的，所以人們才給它起了這個名字。雖然用字母S的真實意圖只有克勞修斯本人才知道，但克勞修斯的確是憑著對先鋒的敬意，從卡農手中接過了接力棒，將這場接力賽繼續跑了下去。這段歷史堪稱一則佳話。
克勞修斯想要描述的是一種前所未有的物理量，因此他一定是經過了無數次的試錯才得出了最後的結論。天才們就是這樣，用公式把其他人看不到的東西展現出來。他們像是頂級的設計師，從事著無比浪漫的工作。這場接力賽還在繼續。
接下來波茲曼推匯出熵與系統狀態數a之間的關系式。這條令他著迷的公式最後被刻在了他的墓碑上，成為他的墓誌銘。波茲曼在熱力學領域進行了廣泛而深入的研究，並取得了許多重要的成果。緊接著，他將關註點從宏觀世界轉向了微觀世界，並在統計力學方面做出了十分重要的貢獻。
最後就是我們熟悉的那個留著大胡子的「咖啡店店長」——馬克士威。雖說這位「大明星」的出場費一定很高昂，但有他參與的話，接力賽的節目效果一定很好。跑著跑著，馬克士威丟擲了一個難題——「馬克士威妖」。
「話說，搞一場這麽漫長的接力賽，到底有沒有意義啊……」這句抱怨讓身為「贊助商」的熱力學先生嚇出了一身冷汗。正在熱力學先生不知所措的時候，接力賽突然從名叫熱力學的跑道轉移到了名叫統計力學的跑道上！沒過多久，費米和普朗克就進入了賽道。最後，就連天才愛因史坦也加入了這場接力。觀眾們一定會想問：「愛因史坦先生，除了搶答類節目，你到底還參加了多少節目啊？」這場接力賽的最終目標，逐漸和第二章中的量子力學產生了聯系。
【信條】（2020）劇照。
「馬克士威妖」指的是一只能夠破壞熵增原理的妖精，它的存在會讓先前的理論成為悖論。為了解決這個問題，物理學家與那只假想中的妖精苦戰了許多年，但直到20世紀結束也沒有徹底將其降伏。
目前，有關時間倒流的研究還在進行中。這項研究關系到量子電腦的發展，以及對量子力學中時間的本質的研究。「馬克士威妖」至今還隱藏在熵增原理的深處。
原文作者/［日］高水裕一
摘編/何也
編輯/張進
導語校對/劉軍
